등각 대칭

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1. 개요
2. 정의
3. 좌표 변환
- 3.1. 특수 등각 변환
4. 표현
5. 응용
6. 격자 모형에서의 등각 불변성
- 6.1. 스미르노프의 필즈상 수상
- 6.2. 뒤미닐-코팽의 연구
참조

1. 개요

등각 대칭은 민코프스키 공간의 등각 대칭군 SO(d,2)를 의미하며, 푸앵카레 군을 부분군으로 포함한다. 등각 대칭군은 회전 및 로렌츠 변환, 병진 변환, 확대 변환, 특수 등각 변환을 포함하는 생성원을 가지며, 로렌츠 군과 푸앵카레 군을 포함하는 리 대수를 형성한다. 등각 대칭은 시공간의 병진, 로렌츠 변환, 스케일 변환, 특수 등각 변환을 통해 표현되며, 등각 불변성은 상전이, 고에너지 물리학, 끈 이론 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 격자 모형의 임계 극한에서 등각 불변성이 나타나며, 스미르노프와 뒤미닐-코팽 등의 연구를 통해 수학적으로 증명되었다.

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등각 대칭

2. 정의

''d''차원 민코프스키 공간의 '''등각 대칭군'''은 $\operatorname{SO}(d,2)$ 이다. 이는 푸앵카레 군 $\operatorname{ISO}(d-1,1)$ 을 부분군으로 포함한다.

등각 대칭군의 생성원은 다음과 같다.

기호	이름	성분 수	등각 차원
$M_{\mu\nu}$	회전 및 로런츠 변환	$d(d-1)/2$	0
$P_\mu$	병진 변환	$d$	+1
$D$	확대 변환	1	0
$K_\mu$	특수 등각 변환(special conformal transformation^영어)	$d$	−1

이 가운데 $M$ 만 남기면 로런츠 군, $M$ 과 $P$ 만 남기면 푸앵카레 군이 된다.

물리학에서, 장론의 공형 대칭성은 푸앵카레 변환(시공간의 병진 + 로런츠 변환), 스케일 변환(딜라테이션), 그리고 특수 공형 변환에서의 대칭성으로 구성된다. 이러한 대칭성으로 이루어진 군을 공형군 또는 공형 변환군이라고 부른다.

2. 1. 생성원

''d''차원 민코프스키 공간의 등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같은 군 표현을 갖는다.^[7]

:

\begin{align} & M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu) \,, \\&P_\mu \equiv-i\partial_\mu \,, \\&D \equiv-ix_\mu\partial^\mu \,, \\&K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu) \,, \end{align}

여기서

M_{\mu\nu}

는 로렌츠 군의 군 생성원이고,

P_\mu

는 병진을 생성하며,

D

는 스케일 변환(팽창 또는 딜레이션)을,

K_\mu

는 특수 등각 변환을 생성한다.

2. 2. 교환 관계

등각 대칭군의 생성원들은 특정한 교환 관계를 만족시키며, 이를 통해 등각 대칭군의 리 대수를 구성한다.^[7]

:

[D,K^\mu]=-iK^\mu

:

[D,P_\mu]=iP_\mu

:

[K_\mu,P_\nu]=2i(\eta_{\mu\nu}D-M_{\mu\nu})

:

[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_\rho - \eta_{\mu \rho} K_\nu)

:

[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)

:

[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

여기서

\eta_{\mu\nu}

는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

2. 3. 방사 양자화

방사 양자화(radial quantization^영어)에서 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다.^[7] (등각 장론에서 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에서 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)

:

D^\dagger=-D

:

(P_\mu)^\dagger=K^\mu

:

(M_{\mu\nu})^\dagger=M^{\mu\nu}

3. 좌표 변환

민코프스키 시공간 위의 좌표 x^μ에 대한 병진, 로렌츠 변환, 스케일 변환(딜라테이션), 특수 등각 변환은 다음과 같이 표현된다.^[7]

시공간의 병진

:

x^\mu \to x^{\prime\mu} = x^\mu + a^\mu

로렌츠 변환 (시공간의 회전 변환)

:

x^\mu \to x^{\prime\mu} = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu

스케일 변환 (딜라테이션)

:

x^\mu \to x^{\prime\mu} = \lambda x^\mu

특수 등각 변환

:

x^\mu \to x^{\prime\mu} = \frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1 - 2b \cdot x + b^2 x^2}

여기서 a^μ,

\Lambda^\mu_{\ \nu}

, λ, b^μ는 변환의 매개변수이다.

특수 등각 변환은 반전, 평행 이동, 반전으로 이루어진 변환이다.

3. 1. 특수 등각 변환

특수 등각 변환은 다음과 같다.

:

x^\mu \to \frac{x^\mu-a^\mu x^2}{1 - 2a\cdot x + a^2 x^2}

여기서

a^{\mu}

는 변환을 설명하는 매개변수이다. 이 특수 등각 변환은

x^\mu  \to x'^\mu

로도 쓸 수 있다.

:

\frac{{x}'^\mu}{{x'}^2}= \frac{x^\mu}{x^2} - a^\mu

이는 반전, 평행 이동, 두 번째 반전으로 구성됨을 보여준다.

4. 표현

등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.^[7]

M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)

P_\mu \equiv-i\partial_\mu

D\equiv-ix_\mu\partial^\mu

K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)

4차원의 경우, 등각 대칭군 $\operatorname{SO}(4,2)\sim\operatorname{SU}(2,2)$ 의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.^[8]^[9]

5. 응용

상대론적 양자장 이론에서 등각 대칭성은 콜먼-만둘라 정리에 의해 제한된다. 비-초대칭 상호작용 양자장 이론에서 가장 큰 전역 대칭군은 등각군과 내부 대칭군의 직접곱이다.^[2] 이러한 이론은 등각 장론으로 알려져 있다.

임계점에서 국소 상호 작용이 있는 시스템의 변동은 등각 불변성을 띈다.^[3] 이는 등각장론을 통해 상전이의 보편성 종류를 분류하는 데 사용된다. 높은 레이놀즈 수에서 2차원 난류는 등각 불변성을 가진다.^[3]

고에너지 물리학에서 연구되는 많은 이론들은 전형적으로 국소적인 스케일 불변성 때문에 등각 대칭을 허용한다. 유명한 예로는 d=4, N=4 초대칭 양-밀스 이론이 있으며, 이는 AdS/CFT 쌍대성과 관련이 있기 때문이다. 또한, 끈 이론의 세계면은 2차원 중력에 결합된 2차원 등각장론에 의해 설명된다.

5. 1. 등각 장론

상대론적 양자장 이론에서 대칭은 콜먼-만둘라 정리에 의해 제한된다. 비-초대칭 상호작용 양자장 이론에서 가장 큰 전역 대칭군은 등각군과 내부 대칭군의 직접곱이다.^[2] 이러한 이론은 등각 장론으로 알려져 있다.

물리학에서 장론의 '''등각 대칭성'''은 푸앵카레 변환(시공간의 병진 + 로렌츠 변환), 스케일 변환(딜라테이션), 그리고 '''특수 등각 변환''' 하에서의 대칭성으로 구성된다. 이러한 대칭으로 이루어진 군을 '''등각군''' 또는 '''등각 변환군'''이라고 부른다.

등각군의 생성자는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}& M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu) \\&P_\mu \equiv-i\partial_\mu \\&D \equiv-ix_\mu\partial^\mu \\&K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)\end{align}

여기서, M_μν는 로렌츠 불변성, P_μ는 시간과 공간의 병진 대칭성, D는 스케일 불변성, K_μ는 특수 등각 변환의 생성자이다. 단, D는 스칼라이며, K_μ는 로렌츠 변환의 첨자를 가진 공변 벡터이다.

이러한 생성자는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

:

\begin{align}&[D,K_\mu]=-iK_\mu \\&[D,P_\mu]=iP_\mu \\&[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu} \\&[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \\&[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \\&[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\end{align}

이 외의 교환 관계는 모두 0이 된다. 이 표기를 보면 알 수 있듯이, M_μν만으로 닫혀 있는 교환 관계가 로렌츠 군의 리 대수, M_μν와 P_μ만으로 닫혀 있는 교환 관계가 푸앵카레 군의 리 대수이다.

5. 2. 상전이

임계점에서 국소 상호 작용이 있는 시스템의 변동은 등각 불변성을 띈다.^[3] 이는 등각장론을 통해 상전이의 보편성 종류를 분류하는 데 사용된다. 높은 레이놀즈 수에서 2차원 난류는 등각 불변성을 가진다.^[3]

5. 3. 고에너지 물리학

고에너지 물리학에서 연구되는 많은 이론들은 전형적으로 국소적인 스케일 불변성 때문에 등각 대칭을 허용한다. 유명한 예로는 d=4, N=4 초대칭 양-밀스 이론이 있으며, 이는 AdS/CFT 쌍대성과 관련이 있기 때문이다. 또한, 끈 이론의 세계면은 2차원 중력에 결합된 2차원 등각장론에 의해 설명된다.

6. 격자 모형에서의 등각 불변성

물리학자들은 많은 격자 모형이 임계 극한에서 등각 불변이 된다는 것을 발견했다. 그러나 이러한 결과에 대한 수학적 증명은 훨씬 나중에 이루어졌으며, 일부 경우에만 해당한다.

6. 1. 스미르노프의 필즈상 수상

2010년, 스타니슬라프 스미르노프는 통계 물리학에서 침투 이론과 평면 아이징 모형의 등각 불변성을 증명하여 필즈상을 수상했다.^[4]

6. 2. 뒤미닐-코팽의 연구

2020년, 위고 뒤미닐-코팽(Hugo Duminil-Copin)과 그의 협력자들은 많은 물리적 시스템에서 위상 경계에 회전 불변성(rotational invariance)이 존재함을 증명했다.^[5]^[6]

참조

_[1] 웹사이트 gravity - What makes General Relativity conformal variant? https://physics.stac[...] 2020-05-01
_[2] 논문 Constraining conformal field theories with a higher spin symmetry http://inspirehep.ne[...] 2013
_[3] 논문 Conformal invariance in two-dimensional turbulence https://www.nature.c[...] 2006
_[4] 웹사이트 Stanislav Smirnov profile http://www.icm2010.o[...] International Congress of Mathematicians 2010-08-19
_[5] 간행물 Mathematicians Prove Symmetry of Phase Transitions https://www.wired.co[...] 2021-07-14
_[6] arXiv Rotational invariance in critical planar lattice models 2020-12-21
_[7] 서적 Conformal field theory http://www.physique.[...] Springer 1997
_[8] 저널 All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy http://projecteuclid[...] 1977
_[9] 저널 Irreducible unitary representations of SU(2, 2) 1982-01

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